ملخص
يتناول مشروع الدكتوراه هذا بناء الثوابت الطوبولوجية في الطوبولوجيا الهندسية ذات الأبعاد المنخفضة، الناشئة عن نظرية التمثيل التجميعي، و(ربما) أيضًا تطبيقاتها في الفيزياء، وخاصة النماذج الرياضية للأطوار الطوبولوجية للمادة والحوسبة الكمومية الطوبولوجية.
الوصف الكاملإطار عملنا لفهم وبناء وحساب الثوابت الطوبولوجية هو تحليل الكائنات الطوبولوجية (على سبيل المثال، العقد، والمشعبات، والأسطح المعقودة، وما إلى ذلك) إلى أجزاء أصغر "مولدة"، والحصول على الثوابت العالمية من خلال الجمع بين جميع قيمها المحلية. لا يمكن إعطاء القيم المحلية الأخيرة بشكل تعسفي: عادةً، يجب تلبية علاقات التوافق حتى لا تعتمد النتيجة النهائية لدمج القيم المحلية على الطريقة التي تحلل بها الكائنات. يتم هنا فحص صياغة الثوابت الطوبولوجية بشكل أساسي من خلال تحديد كيفية رسم خريطة للمولدات الطوبولوجية من أجل إقامة العلاقات المناسبة بينهما: هذا هو المكان الذي تقوم فيه كل من نظرية التمثيل التوافقي وكذلك نظرية الفئة الأعلى بعمل عظيم بالنسبة لنا.
توفر الفئات الأعلى إطارًا فعالاً للجمع بين القيم المحلية للثوابت من أجل الحصول على كميات محددة عالميًا. وذلك لأن الفئات الأعلى لها أشكال شكلية ذات أبعاد مختلفة، 0، 1، 2، إلخ، علاوة على عدة طرق مختلفة للجمع بين تلك الأشكال ذات الترتيب الأعلى، في اتجاهات مختلفة. توفر هذه المجموعة من الطرق المختلفة لتكوين أشكال شكلية ذات ترتيب أعلى طريقة لحفظ العديد من الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها دمج أجزاء من الكائنات الطوبولوجية في اتجاهات مختلفة، وربما في ترتيبات مختلفة.
يمكن لمشروع الدكتوراه هذا اتباع عدد من المسارات المختلفة للعثور على ثوابت طوبولوجية جديدة. من تطبيق التقنيات النظرية المثلية، إلى اتباع إطار هندسي تفاضلي، أو حتى نكهة اندماجية/جبرية بحتة. قد تكون هناك أيضًا فرص لاستكشاف التطبيقات لنمذجة المراحل الطوبولوجية للمادة والنماذج اللاحقة للحوسبة الكمومية الطوبولوجية.