المعادلة النموذجية مع المواضيع ذات الصلة والمواضيع ذات الصلة

ملخص

المعادلة النموذجية هي معادلة وظيفية تتضمن حساب المتوسط (التوقع) على تحويل تقاربي عشوائي للوسيطة. ترتبط هذه المعادلة بالعديد من المواضيع المهمة مثل نظرية شوكيت ديني، وتلافيفات برنولي، والفركتلات، ومخططات التقسيم الفرعي في نظرية التقريب، وما إلى ذلك. وسيتضمن التحقيق في المعادلة النموذجية تحليلًا مقاربًا لسلاسل ماركوف المقابلة مع قفزات متقاربة. قد يكون للمشروع تطبيقات للنمذجة المالية بناءً على عمليات عشوائية ذات قفزات مضاعفة.

نظرية المعادلات الوظيفية هي فرع متنامي من التحليل مع العديد من النتائج العميقة والتطبيقات الوفيرة (راجع [1] للحصول على مقدمة عامة). يتم إعطاء معادلة تفاضلية وظيفية بسيطة مع إعادة القياس بواسطة y'(x) + y(x) = p y(2x) + (1-p) y(x/2) (0p1)، والذي يصف على سبيل المثال. احتمال الخراب للمقامر الذي ينفق بمعدل ثابت (يبدأ بـ x جنيه) ولكن في لحظات زمنية عشوائية يقرر المراهنة على رأس المال الحالي بأكمله وإما أن يضاعفه (مع احتمال p) أو يخسر النصف (مع احتمال 1-p). من الواضح أن y(x) = const هو الحل، والسؤال هو ما إذا كان هناك أي حلول أخرى متصلة ومحدودة أم لا. اتضح أن مثل هذه الحلول موجودة إذا وفقط إذا p 0.5; يمكن الحصول على هذه النتيجة التحليلية باستخدام تقنيات مارتينجال لنظرية الاحتمالات [2].

تمثل المعادلة أعلاه "معادلة المنساخ" التي قدمها Ockendon & Tayler [6] كنموذج رياضي لنظام تجميع التيار العلوي على قاطرة كهربائية. في الواقع، ظهرت معادلة البانتوغراف وتشعباتها المختلفة في مجموعة مذهلة من التطبيقات بما في ذلك نظرية الأعداد، والفيزياء الفلكية، وطوابير الانتظار ونظرية المخاطر، والألعاب العشوائية، ونظرية الكم، وديناميكيات السكان، وتصوير الأورام، وما إلى ذلك.

مصدر غني للمعادلات الوظيفية والتفاضلية الوظيفية مع إعادة القياس هو "المعادلة النموذجية" y(x) = E[y(α(x-β))]، حيث α، β هي معاملات عشوائية وتشير E إلى التوقع [3]. على الرغم من مظهرها البسيط، إلا أن هذه المعادلة مرتبطة بالعديد من المواضيع المهمة، مثل نظرية شوكيت-ديني، وتلافيفات برنولي، والمقاييس المتشابهة ذاتيًا والفركتلات، ومخططات التقسيم الفرعي في نظرية التقريب، والهياكل الفوضوية في المواد غير المتبلورة، وغيرها الكثير. التكرار العشوائي وراء المعادلة النموذجية، الذي يحدد سلسلة ماركوف بقفزات من الشكل x → α(x-β).

باختصار، الهدف الرئيسي لمشروع الدكتوراه هذا هو مواصلة البحث العميق في المعادلة النموذجية وتعميماتها. سوف يتضمن البحث بطبيعة الحال تحليلًا مقاربًا لسلاسل ماركوف المقابلة، بما في ذلك توصيف وظائفها التوافقية [7]. قد يتضمن المشروع أيضًا تطبيقات للنمذجة المالية بناءً على عمليات عشوائية ذات قفزات مضاعفة (راجع [5]).

المراجع

1. Aczél, J. and Dhombres, J. المعادلات الوظيفية في عدة متغيرات، مع تطبيقات على الرياضيات ونظرية المعلومات والعلوم الطبيعية والاجتماعية. جامعة كامبريدج. الصحافة، كامبريدج، 1989.
2. Bogachev, L., Derfel, G., Molchanov, S. and Ockendon, J. حول الحلول المحددة لمعادلة المنساخ المعمم المتوازن. في: موضوعات في التحليل العشوائي والتقدير اللامعلمي (P.-L. Chow et al., eds.)، الصفحات من 29 إلى 49. سبرينغر، نيويورك، 2008. (doi:10.1007/978-0-387-75111-5_3)
3. Bogachev, L.V., Derfel, G. and Molchanov, S.A. حول الحلول المستمرة المحدودة للمعادلة النموذجية مع إعادة القياس. إجراء. روي. شركة نفط الجنوب. أ، 471 (2015)، 20150351، 1–19. (doi:10.1098/rspa.2015.0351)
4. دياكونيس، ب. وفريدمان، د. الدوال العشوائية المتكررة. مراجعات SIAM، 41 (1999)، 45–76. (doi:10.1137/S0036144598338446)
5. أ.د. كوليسنيك وراتانوف. عمليات التلغراف وتسعير الخيارات. سبرينغر، برلين، 2013. (doi:10.1007/978-3-642-40526-6)
6. أوكيندون، جيه آر وتايلر، أ.ب. ديناميات نظام التجميع الحالي للقاطرة الكهربائية. إجراء. روي. شركة نفط الجنوب. لندن أ، 322 (1971)، 447–468. (doi:10.1098/rspa.1971.0078)
7. Revuz, D. سلاسل ماركوف، الطبعة الثانية. شمال هولندا، أمستردام، 1984.

يجب أن يكون المتقدمون لبرامج الدرجات العلمية البحثية عادةً على الأقل حاصلين على درجة البكالوريوس البريطانية مع مرتبة الشرف من الدرجة الأولى أو الدرجة الثانية العليا (أو ما يعادلها) في تخصص مناسب. قد تكون معايير القبول لبعض درجات البحث أعلى، على سبيل المثال، تتطلب العديد من الكليات درجة الماجستير أيضًا. يُنصح المتقدمون بالتحقق من المدرسة ذات الصلة قبل تقديم الطلب. يُنصح المتقدمون غير المؤكدين بشأن متطلبات درجة بحثية معينة بالاتصال بالمدرسة أو كلية الدراسات العليا قبل تقديم الطلب.

الحد الأدنى لمتطلبات الالتحاق باللغة الإنجليزية للدراسة البحثية للدراسات العليا هو الحصول على 6.0 درجات في اختبار IELTS بشكل عام مع 5.5 على الأقل في كل مكون (القراءة والكتابة والاستماع والتحدث) أو ما يعادلها. يجب أن يكون تاريخ الاختبار خلال عامين من تاريخ بدء الدورة حتى يكون صالحًا. بعض المدارس والكليات لديها متطلبات أعلى.