التباديل العشوائي وأقسام عدد صحيح مع القيود الهيكلية

ملخص

التباديل والأقسام الصحيحة هي الهياكل التوافقية الأساسية التي تظهر في العديد من مجالات الرياضيات وتطبيقاتها. يتمثل النهج الإحصائي الحديث في التعامل مع هذه الهياكل باعتبارها مجموعة عشوائية تتمتع بمقياس احتمالي مناسب. تشكل الهياكل التي تحتوي على قيود معينة على مكوناتها تحديًا رياضيًا. الهدف الرئيسي لمشروع الدكتوراه هذا هو دراسة خصائص الهياكل الكبيرة، مع التركيز على الميزات العيانية مثل الشكل الحدي.

تظهر التباديلات وأقسام الأعداد الصحيحة في العديد من مجالات الرياضيات وتطبيقاتها - بدءًا من نظرية الأعداد والجبر والطوبولوجيا وحتى فيزياء الكم والإحصاء وعلم الوراثة السكانية وتكنولوجيا المعلومات وعلم التشفير (على سبيل المثال، استخدم آلان تورينج نظرية التباديل لكسر كود إنجما أثناء الحرب العالمية الثانية). يعود موضوع البحث الكلاسيكي هذا إلى أويلر وكوشي وكايلي ولاغرانج وهاردي ورامانوجان. يتمثل النهج الإحصائي الحديث في التعامل مع هذه الهياكل التوافقية باعتبارها مجموعة عشوائية تتمتع بمقياس احتمالي مناسب. الحالة الموحدة (المتساوية) مفهومة جيدًا ولكن النماذج الأكثر إثارة للاهتمام (على سبيل المثال، مع أوزان معينة للمكونات) تمثل تحديًا رياضيًا أكبر.

الهدف الرئيسي لمشروع الدكتوراه هذا هو معالجة المشكلات المفتوحة والناشئة حول الخصائص المقاربة للهياكل "النموذجية" ذات الحجم الكبير، خاصة في ظل قيود هيكلية معينة على المكونات المكونة. سيكون التركيز على السمات العيانية للبنية العشوائية، مثل شكلها الحدي. ومن المهم أيضًا دراسة القيم المتطرفة، ولا سيما احتمال ظهور مكون عملاق قد يلقي الضوء على تكثيف بوز-آينشتاين للغاز الكمي، الذي تم التنبؤ به في عام 1924 ولكن لم يتم ملاحظته إلا مؤخرًا (جائزة نوبل في الفيزياء 2001).

أحد اتجاهات البحث ذات الصلة هو استكشاف الارتباط العميق مع الإحصاءات الكمومية المختلفة؛ على وجه التحديد، يمكن تفسير مجموعة الأقسام الصحيحة المنتظمة على أنها الغاز المثالي للبوزونات (في بعدين)، في حين تتوافق الأقسام ذات الأجزاء المميزة مع الفرميونات. في هذا السياق، هناك مشكلة مثيرة للاهتمام تتمثل في إنشاء فئات تقسيم مناسبة لنمذجة ما يسمى بالأنيونات التي تخضع لإحصائيات الكم الكسرية (أيضًا ثنائية الأبعاد!). علاوة على ذلك، قد تكون فكرة المغامرة هي البحث عن نماذج تقسيم مناسبة لتقليد الخصائص غير العادية للجرافين (جائزة نوبل في الفيزياء 2010)، وهو هيكل كمي ثنائي الأبعاد تم اكتشافه حديثًا مع بعض التماثلات المخفية.

المراجع

1. Arratia, R., Barbour, A.D. and Tavaré, S. الهياكل التوافقية اللوغاريتمية: نهج احتمالي. الرياضيات الأوروبية. سوك.، زيورخ، 2003. (doi:10.4171/000)
2. بوغاتشيف، إل.في. الاشتقاق الموحد للشكل الحدي للمجموعات المضاعفة للأقسام الصحيحة العشوائية ذات الأجزاء المتوازنة. الهياكل والخوارزميات العشوائية، 47 (2015)، 227–266. (doi:10.1002/rsa.20540)
3. بوغاتشيف، إل.في. الشكل الحدي للخطوط المتعددة الأضلاع المحدبة العشوائية: المزيد من العالمية. مجلة النظرية التوافقية أ، 127 (2014)، 353–399. (doi:10.1016/j.jcta.2014.07.005)
4. بوغاتشيف، إل.في. وياكوبوفيتش، يو.في. الحد من شكل أقسام الاختلاف الأدنى والإحصائيات الكسرية. الاتصالات في الفيزياء الرياضية, 373 (2020),1085–1131. (دوي:10.1007/s00220-019-03513-5)
5. بوغاتشيف، إل.في. و Zeindler، D. الإحصاءات المقاربة للدورات في التباديل المكاني البديل. الاتصالات في الفيزياء الرياضية، 334 (2015)، 39–116. (دوي:10.1007/s00220-014-2110-1)
6. أ. ليردا أنيونز: ميكانيكا الكم للجسيمات ذات الإحصائيات الكسرية. سبرينغر، برلين، 1992.
7. فيرشيك، أ.م. التوافقيات المقاربة والتحليل الجبري. في: وقائع المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات (3-11 أغسطس 1994، زيورخ، سويسرا)، المجلد. 2. بيركهاوزر، بازل، 1995، ص 1384-1394. (دوي:10.1007/978-3-0348-9078-6_133)

يجب أن يكون المتقدمون لبرامج الدرجات البحثية حاصلين عادةً على الأقل على درجة البكالوريوس البريطانية مع مرتبة الشرف من الدرجة الأولى أو الدرجة الثانية العليا (أو ما يعادلها) في تخصص مناسب.

الحد الأدنى لمتطلبات الالتحاق باللغة الإنجليزية للدراسة البحثية للدراسات العليا هو الحصول على 6.0 درجات في اختبار IELTS بشكل عام مع 5.5 على الأقل في كل مكون (القراءة والكتابة والاستماع والتحدث) أو ما يعادلها. يجب أن يكون تاريخ الاختبار خلال عامين من تاريخ بدء الدورة حتى يكون صالحًا.