الجامعات في أستراليا 
الجامعات في كندا 
الجامعات في ألمانيا 
الجامعات في ايرلندا 
الجامعات في الأردن 
الجامعات في نيوزلندا 
الجامعات في السعودية 
الجامعات في المملكة المتحدة 
الجامعات في الولايات المتحدة 
ملخص
الملخص: يهدف هذا المشروع إلى دراسة التكميم المتغير لنظريات المجال التكاملي. تاريخيًا، كان النهج الأكثر نجاحًا لتقدير مثل هذه النظريات هو من خلال ما يسمى بطريقة التشتت العكسي الكمي والتي تعتمد على فكرة مصفوفة R الكمومية ومعادلة يانغ-باكستر الكمومية. يظهر الأخير على أنه التكميم القانوني (بمعنى ديراك) لمعادلة يانغ-باكستر الكلاسيكية، وهي خاصية أساسية لمصفوفة r الكلاسيكية. أحد العيوب المفاهيمية للتكميم الأساسي هو أنه يكسر (لورنتز) التغاير المشترك لإحداثيات الزمكان الأساسية.
في الآونة الأخيرة، تم اكتشاف اكتشافين مستقلين يفتحان الطريق لدراسة التكميم المتغير لنظريات المجال التكاملي من مختلف. إحداها هي حقيقة أنه تم تحديد مصفوفة r الكلاسيكية على أنها تلعب دورًا رئيسيًا في نسخة متغيرة من الوصف الهاملتوني لبعض نظريات المجال القابلة للتكامل. والآخر هو فكرة الأشكال اللاغرانجية المتعددة التي تجسد التكامل في إطار لاغرانج. وهذا يوفر إمكانية التكميم المتغير من منظور تكامل مسار فاينمان. ما يربط هذا المشروع معًا هو الارتباط الجميل الذي تم إنشاؤه بين النهجين الجديدين المذكورين أعلاه في مجال الأنظمة القابلة للتكامل - تظهر مصفوفة r الكلاسيكية بشكل طبيعي في سياق أشكال لاغرانج المتعددة. يشير هذا إلى أن مثل هذا الارتباط يجب أن ينجو من التكميم ويربط مصفوفة الكم R مع شكلية مسار فاينمان التكاملية.
وصف تفصيلي: كان اكتشاف المعادلات التفاضلية الجزئية القابلة للتكامل (PDEs) في البحث الرائد الذي أجراه جاردنر وغرين وكروسكال وميورا بمثابة ولادة العصر الحديث للبحث المعروف عمومًا باسم {\it الأنظمة القابلة للتكامل}. لقد أثار عددًا لا يحصى من الاكتشافات الرياضية (أنظمة هاملتونية لا نهائية الأبعاد، وجبر التماثلات اللانهائي الأبعاد، والمجموعات الكمومية...) التي أدت إلى اختراقات في الفيزياء الكلاسيكية والكمية (ديناميكيات سوليتون، ووظائف الارتباط الدقيقة في سلاسل الدوران الكمومية ونظريات المجال الكمي، ووظائف التقسيم في نظريات القياس...). تشتمل هذه المنطقة الغنية بالفيزياء النظرية/الرياضية على مجموعة كبيرة ومتنوعة من الأنظمة التي تتمثل ميزتها الرئيسية في إمكانية "حلها تمامًا"، في تناقض حاد مع الاضطراب المعتاد والتقنيات التقريبية.
نظرية المجال (الكمية) هي إطار عمل مهيمن يتم من خلاله وضع نماذج للقوانين الأساسية للطبيعة، مثل الكهرومغناطيسية (نظرية ماكسويل)، أو الجاذبية (النسبية العامة) أو ديناميكيات الموائع (نافيير-ستوكس)، وتحاول التنبؤ بحدوث ظواهر معينة أو فهمها. ضمن هذه الساحة الشاسعة، تم العثور على عدد كبير من نظريات المجال {\it المتكاملة} (الكمية) على مر السنين. ونظرًا لخصائصها الخاصة، فإنها توفر "مختبرات نظرية" قيمة حيث يمكن للمرء الحصول على نتائج واضحة ودقيقة لتوجيه فهمنا للظواهر المعقدة.
من الناحية التاريخية، استخدمت عملية تكميم هذه النماذج القابلة للتكامل فكرة التكميم القانوني التي تعود إلى ديراك: باختصار، يتم ترقية شريحة بواسون الكلاسيكية من العناصر القابلة للرصد إلى مُبدل العوامل الكمومية. تم اكتشاف هياكل جميلة بفضل هذا: مجموعات بواسون-لاي والكمية المستندة إلى معادلة يانغ-باكستر الكلاسيكية والكمية (منحت ميدالية فيلدز V.G. Drinfel'd لعمله في هذا الموضوع). وهذا بدوره سمح بتحقيق نجاح هائل في حساب جميع وظائف الارتباط المهمة.
من وجهة نظر مفاهيمية، فإن هذا النهج له حدود تم الاعتراف بها منذ عقود: اختيار قوس بواسون والدالة الهاملتونية يكسر التماثل الطبيعي (التغاير) بين إحداثيات الزمكان. البديل الأكثر شهرة هو تكمية فاينمان المتكاملة للمسار والتي تعتمد على لاغرانج بدلاً من الوصف الهاملتوني لنظرية المجال. هناك فكرة أخرى أقل شهرة، تعتمد على بناء قوس بواسون المتغير والهاميلتوني على المستوى الكلاسيكي قبل محاولة القياس الكمي.
نظرًا للنجاح الساحق الذي حققته طريقة يانغ-باكستر الكمومية، لم تحظ الطريقتان الأخريان المذكورتان للتو بأي اهتمام. ومع ذلك، فقد ظهر مؤخرًا اكتشافان جديدان في نظرية المجال التكاملي: 1) شكلية مصفوفة $r$ الكلاسيكية المتغيرة [1،2]، 2) شكلية لاغرانج التي تلتقط التكاملية: نظرية لاغرانج المتعددة الأشكال [3،4].
يقترح مشروع الدكتوراه هذا التحقيق في مشكلة القياس الكمي هذه من خلال الاستفادة من إمكانية تكامل النموذج المشفر في الأشكال المتعددة. نظرًا لأن الأشكال المتعددة تنطبق بشكل جيد على الأنظمة ذات الأبعاد المحدودة أو اللانهائية، فإننا نتوقع أنه ينبغي للمرء أن يكون قادرًا على وصف الأنظمة الميكانيكية الكمومية ونظريات المجال الكمي التي تُعرف بها أشكال لاغرانج الكلاسيكية المتعددة. الأمثلة الحالية كثيرة وتشمل: سلسلة تودا، نماذج جودين، معادلة جيب جوردون، المعدلةمعادلة كورتيفيج-دي فريس، معادلة شرودنغر غير الخطية، نماذج زاخاروف-ميخائيلوف التي تحتوي على
نموذج Faddeev-Reshetikhin وقدم مؤخرًا نماذج سيجما/Gross-Neveu المشوهة كحالات معينة، وما إلى ذلك. يمكن أن تتضمن أدوات التحقيق المحتملة فصل تكامل المسار، كما هو الحال في عمل فاينمان الأصلي، أو تقنيات التوطين المكافئة التي أثبتت فعاليتها في الحساب الدقيق لوظيفة التقسيم في بعض نظريات القياس (الفائقة التناظر). سيكون الاتجاه البديل والتكميلي هو تطوير التكميم القانوني المتغير بناءً على النتائج التي حصل عليها المشرف على أقواس بواسون المتغيرة وهياكل مصفوفة r الكلاسيكية. ستكون المقارنة مع النظرية الراسخة لمعادلة يانغ-باكستر الكمومية والمجموعات الكمية بمثابة مكونات مهمة للمشروع، بالإضافة إلى التوجيه منها.
بهذا المشروع، يمكنك
1) اكتشف وتعلم العالم الغني لنظريات المجالات القابلة للتكامل؛
2) المساهمة في النظرية الحالية لنظريات المجال الكلاسيكي القابل للتكامل وتطوير طرق جديدة لدراسة تكميمها المتغير باستخدام إحدى الطريقتين الموضحتين أعلاه أو كلتيهما.
3) قم بتطبيق نتائجك للمقارنة مع التنبؤات الحالية في بعض نظريات المجال الكمي القابل للتكامل، وإذا سمح الوقت، تحقق في إمكانية معالجة المشكلة الصعبة للغاية المتمثلة في فيزياء خارج التوازن باستخدام الأدوات التي تم تطويرها في الخطوة الثانية.
يتم تشجيع المتقدمين الذين يتمتعون بخلفية قوية في الفيزياء النظرية/الرياضية. طوال المشروع، سيتفاعل المرشح الناجح مع الأبحاث والباحثين الدوليين، ويحضر المؤتمرات الدولية، ويعقد الندوات، وينشر النتائج في المجلات الدولية التي يراجعها النظراء.
قائمة المراجع
[1] V. Caudrelier, M. Stoppato, الارتباط بين شكلية مصفوفة r الكلاسيكية ونظرية المجال الهاملتوني المتغير, J. Geom. فيز. 148 (2020)، 103546.
[2] V. Caudrelier, M. Stoppato, وصف متعدد الأشكال لتسلسل AKNS الهرمي ومصفوفة r الكلاسيكية, J. Phys. أ 54 (2021)، 235204.
[3] S. Lobb, F.W. Nijhoff, أشكال لاغرانج المتعددة والاتساق متعدد الأبعاد, J. Phys. أ42 (2009)، 454013.
[4] د.ج. مزلقة، F.W. Nijhoff، V. Caudrelier، التماثلات المتغيرة وأشكال لاغرانج المتعددة، Lett. الرياضيات. فيز. 110 (2020)، 805.